连续函数f(x)在区间-∞<x<+∞上有界,证明:方程y'+y=f(x)在区间-∞<x<+∞有并且只有一个有界解。试求出这个解,并进而证明:当f(x)还是以ω为周期函数时,这个解也是以ω为周期的周期函数。
第1题
设x(t)和y(t)是区间a≤t≤b上的连续函数,证明:如果在区间a≤t≤b上有≠常数或≠常数,则x(t)和y(t)在区间a≤t≤b上线性无关.(提示:用反证法.)
第2题
若f(x)是[a,b]上的连续函数,则是其在该区间的原函数,对不对?是否为(x)的原函数?为什么?
第3题
设函数f(x)在区间[a,b]上有连续导数f'(x).若记
证明.
第4题
A.f(x)在[a,b]上有最大值和最小值
B.f(x)必在区间端点取得最小值
C.f(x)必在区间内部取得最大值和最小值
D.f(x)必在区间端点取得最大值
第5题
A.f(x)在[a,b]上有最大值和最小值
B.f(x)必在区间端点取得最小值
C.f(x)必在区间内部取得最大值和最小值
D.f(x)必在区间端点取得最大值
第7题
设函数f(x)在(0,1)内有定义,且函数exf(x)与e-f(x)在(0,1)内都是单调增加函数,证明:f(x)在(0,1)内为连续函数
第8题
设f(x)是以5为周期的连续函数,在x=0的邻域内满足,且f'(1)存在,求y=f(x)在(6,f(6))处的切线方程。
第9题
有人说,连续函数F(x)=|x|是函数
的原函数,理由是:当x≥0时,|x|=x,此时F'(x)=f(x);当x<0时,|x|=-x,此时F'(x)=f(x).于是在(-∞,+∞)内有F'(x)=f(x),即(x|)'=f(x).这种说法对吗?
第10题
给定积分方程
(*)
其中f(x)是[a,b]上的已知连续函数,K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的已知连续函数,证明当|λ|足够小时(λ为常数),(*)在[a,b]上存在唯一的连续解.
第11题
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+0(x),
且f(x)在x=1处可导,求曲线u=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.