试证明： 设f（x)定义在可测集上．若f2（x)在E上可测，且{x∈E：f（x)＞0}是可测集，则f（x)在E上可测．

试证明：

设f₀(x)，f_n(x)(n∈N)是[0，1]上非负可积函数，若f_n(x)在[0，1]上依测度收敛于f₀(x)，且有

，

则对[0，1]中任一可测集E，均有

．

设f(x)是E上的可测函数，B是R中的博雷尔集。试证：f^-1(B)是可测集。又当B是任意可测集时，f^-1(B)是否仍可测？

设f(x，y)可微，l₁与l₂是R²上一组线性无关向量．试证明：若，则f(x，y)≡常数．

设f，f_n(n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，

并且

试证：

试证明：

设且m(E)＜+∞，{f_t(x)}是E上一族(0＜t＜+∞)实值可测函数，若存在极限(x∈E)，且是E上可测函数，则任给ε＞0，存在：m(E₀)＞m(E)-ε，使得在E₀上一致地存在．

设f(x)在[a，b]上有原函数．若|f|∈R([a，b])，试证明f∈R([a，b]).

试证明：

若f(x)是R¹的实值函数，则集合

{x∈R¹:f(x)在x点不连续但右极限f(x+0)存在(有限)}是可数集．

设ψ(x)在x₀处取得极大值，f(x)在(-∞，+∞)内单调增加．试利用极大值与单调增加的定义证明f[ψ(x)]也在x₀处取得极大值．反过来也正确．