试在[0，1]中作一零测集Z，使得任意的f∈R（[0，1])的连续点集cont（f)与Z之交集均非空集．

设Z是[0，1]中的不可测集，证明：存在ε，0＜ε＜1，使得对[0，1]中任一满足m(E)≥ε的可测集E，Z∩E均是不可测的

试证明：

设{E_k}是[0，1]中的可测集列，m(E_k)=1(k=1，2，…)，试证明．

试证明：

设f(x)是[0，1]上非负递增函数，则对[0，1]中的可测集E:m(E)=e，有

.

试证明：

设f₀(x)，f_n(x)(n∈N)是[0，1]上非负可积函数，若f_n(x)在[0，1]上依测度收敛于f₀(x)，且有

，

则对[0，1]中任一可测集E，均有

．

设f(x)车区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证：(I)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η；

(Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得fˊ(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．

设{E_k}是Rⁿ中测度有限的可测集列，且有

,

试证明存在可测集E，使得f(x)=χ_E(x)，a．e．x∈Rⁿ．

设f(x)是E上的可测函数，B是R中的博雷尔集。试证：f^-1(B)是可测集。又当B是任意可测集时，f^-1(B)是否仍可测？

试证明：

设是不可数集，则存在x₀∈E，使得对任意的δ＞0，E∩(x₀-δ，x₀+δ)均为不可数集．

设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，m(E)＜+∞，试证明对任意的ε＞0，存在E上的有界可测函数g(x)，使得

m({x∈E：|f(x)-g(x)|＞0})＜ε．

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,,证明:

(1)存在,使得f(ξ)=ξ;

(2)对于任意实数入λ,必存在η∈(0,ξ),使得

f'(η)-λ[f(η)-η]=1.