设Y是赋范空间X的子空间，g∈Y'且f∈X'是g的Hahn-Banach延拓。证明：

设Y是赋范空间X的有限维真子空间。证明在X中存在x₁使得‖x₁‖=1且d(x₁，Y)=1，即Riesz引理在r=1时成立。

设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集，是满足下列条件的连续映射F：X→Y的集合：对0＜r＜1及x，y∈E，

F(rx+(1-r)y)=rF(x)+(1-r)F(y)

证明在E上一致有界当且仅当它在E上逐点有界。

设X，Y是赋范空间，F∈BL(X，Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集，则F是满射。

设X和Y是赋范空间，F：X→Y是线性的，证明下列陈述是等价的：

(a)F是连续的。

(b)F映X中的柯西列到Y中的柯西列。

(c)F映X中的收敛列到Y中的收敛列。

设X是Banach空间，Y是赋范空间，对n，m=1，2，…。设F_mn∈BL(X，Y)若对每个m≥1，存在X中的x_m使得

证明存在X中的x使得

，m=1，2，…。

若X是无穷维赋范空间，证明以下结论：

(a)存在单的不连续的线性映射F：X→X

(b)存在X上不连续的线性泛函。

(d)对任意的赋范空间Y≠{0}，存在不连续的线性映射F：X→Y

设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若

使得收敛.